Н. Н. Войтович, П. А. Савенко. Об одном интегральном уравнении теории синтеза антенн. Математические методы и физико-механические поля, вып.2, 1975, 161-163.

Аннотация. Изучается линейное интегральное уравнение, возникающее при исследовании ветвления решений нелинейного интегрального уравнения теории синтеза антенн. В случае линейной антенны, диаграмма направленности которой описывается преобразованием Фурье, собственные функции линейного уравнения выписываются в явном виде. Точки ветвления определяются из простых трансцендентных уравнений.

Н. Н. Войтович, П. А. Савенко. Ветвление решений задачи синтеза антенн по заданной амплитудной диаграмме направленности. Радиотехника и электроника, № 4, 1976, 723-729.

Аннотация. Анализируется нелинейное интегральное уравнение, возникающее в задаче синтеза антенн по заданной амплитудной диаграмме. Получены трансцендентные уравнения для первых точек ветвления и аналитические формулы, описывающие оптимальное решение в окрестности точек ветвления. Приводятся численные результаты для нескольких заданных амплитудных диаграмм.

Н. Н. Войтович, О. И. Гись, П. А.Савенко. Ветвление решений нелинейного интегрального уравнения теории синтеза антенн. Интегральные уравнения в прикладном моделировании (тезисы докл. 2-ой респ. н.-т. конф.), Киев, 1986, т. 2, 53-54.

N. N. О. М. Гись, Н. Н. Войтович, П. А. Савенко. Численное исследование ветвления одного класса нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна. Алгебра и анализ. Тезисы докладов междун. конф., Казань, 1994, 34-35.

N. N. Voitovich, Yu. P. Topolyuk. Some properties of nonlinear inverse problems with free phase. Int. Conf. on Inverse and Ill-posed Problems, Moscow, 1996.

N. N. Voitovich, Yu. P. Topolyuk. Antenna synthesis according to prescribed amplitude radiation pattern and the phase problem. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv, 1997, p. 90-92.

М. М. Войтович, О.О. Решняк, Ю. П. Тополюк. Аналітичний розв'язок узагальненої фазової проблеми для фінітних функцій. Міжнар. наук. конф. "Сучасні проблеми механіки і математики", Львів, 1998, 241-242ю

Abstract. The linear antenna synthesis problem according to prescribed amplitude pattern is solved analytically with a limited numbers of complex parameters to be calculated. These parameters are defined from a set of transcendental equations. Its solutions are nonunique. The optimal solution is chosen from the all obtained ones. A measure of the synthesis effectivity is offered. The case, when the given amplitude pattern is constant inside the limited angle, is considered in details and numerical results are presented.

M. M. Voitovich, Yu. P. Topolyuk. Approximation of finite functions with free phase by functions having finite spectrum. Int. Conf. on Operator Theory and its Applications to Science and Industrial Problems (Abstracts), Winnipeg, 1998, p. 43.

Abstract. The problem of the least-square minimization of the difference between the prescribed and obtained amplitude patterns is solved for the linear antenna in the closed form with a limited number of complex parameters which are calculated from the set of transcendental equations. The number of parameters depends on the electrical length of antenna. Numerical results concerning two concrete problems are presented. The method is extended to the equidistant linear antenna arrays.The results may be applied to other problems described by the continuous or discrete Fourier transformation.

N. N.Voitovich, O. O. Reshnyak. Closed solutions of a nonlinear integral equation arisen in the antenna arrays synthesis theory. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-98), Lviv-Tbilisi, 1998, p. 67-71.

N. N. Voitovich, O. O. Reshnyak. Solutions of nonlinear integral equation of synthesis of the linear antenna arrays. BSUAE Journ. of Applied Electromagnetics, v. 2, No. 1, 1999, p. 43-52.

Abstract. The problem of synthesis of the equidistant linear antenna array according to the prescribed amplitude pattern, reduced formerly to a nonlinear integral equation, is solved analytically with a small number of unknown complex parameters. For these parameters, a set of transcendental equations is obtained. Limitation of the number of parameters is given. Numerical results are presented. The results obtained can be generalized for other problems described by the discrete Fourier transformation.

М. М. Войтович, О. М. Гісь, Ю. П. Тополюк. Середньоквадратичне наближення фінітних функцій з вільною фазою функціями з фінітним спектром. Доп. НАН України, №3, 1999, № 3, 1999, 7-10.

Анотація. Розглянуто задачу про середньоквадратичне наближення фінітної комплексної функції, заданої лише своїм модулем, перетворенням Фур'є іншої фінітної функції. Раніше ця задача була зведена до нелінійного інтегрального рівняння з неєдиними розв'язками. В даній роботі сформульовано і доведено теореми щодо аналітичного подання цих розв'язків, зведення задачі до системи трансцендентних рівнянь і обмеження розмірності цієї системи.

N. N. Voitovich, Yu. P. Topolyuk, O. O. Reshnyak. Approximation of compactly supported functions with free phase by functions with bounded spectrum. Fields Institute Communications, v. 25, 2000, p. 531-541.

Abstract. The problem minimizing the L₂-discrepancy between modulus of the Fourier transform of a compactly supported function and a given positive compactly supported function is investigated. The variational problem was reduced earlier to a nonlinear integral equation. Solutions of this equation are found in explicit form with a finite number of complex parameters which are determined from a system of transcendental equations. Upper bound for the number of parameters is obtained. The theorem that the global-minimum point is contained among the constructed solutions
is proved.

О. О. Булацик, М. М. Войтович. Аналітичне представлення розв'язків нелінійного інтегрального рівняння задачі наближення фінітних функцій з вільною фазою функціями з фінітним дискретним спектром. Мат. методи та фіз.-мех. поля, вип. 44, № 2, 2001, 70-78.

Анотація. Розглядається задача про квазірозв'язки рівняння з оператором дискретного перетворення Фур'є у випадку, коли комплексна права частина рівняння задана лише своїм модулем. Раніше ця задача була зведена до нелінійного інтегрального рівняння. Доводяться теореми про аналітичне представлення розв'язків цього рівняння через скінченну кількість комплексних параметрів, які визначаються із системи трансцендентних рівнянь, про оцінку кількості таких параметрів та про допустимість заміни кожного з них на комплексно спряжений. Приводяться числові результати.

N. N. Voitovich, P. O. Savenko, Yu. P. Topolyuk. Problems with free phase in applications: Methods and results. Abstracts of Int. Symp. on Inverse Problems in Engineering, Nagano, Japan, 2001, p. 158-161.

O. O. Bulatsyk, O. M. Gis, N. N. Voitovich. Some peculiar properties of solutions of the generalized phase problem. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-2001), Proc. of VIth Int. Seminar/Workshop, Lviv, 2001, p. 38-41.

Abstract. The nonlinear integral equation from generalized phase problem is investigated. The equation is arisen in the linear antenna synthesis theory with amplitude radiation pattern as data. New properties of solutions are obtained. In particular, there can exist solutions with nonsymmetrical amplitude pattern even in the case if the given amplitude pattern is symmetrical. It is also shown that some solutions can disappear with increasing the electrical size of antenna.

О. О. Булацик, М. М. Войтович, О. М. Гісь. Галуження розв'язків нелінійних рівнянь, що виникають в модифікованій фазовій проблемі . Мат. методи та фіз.-мех. поля, вип. 45, № 2, 2002, 64-74.

Анотація. З використанням одержаного раніше аналітичного представлення розв'язків нелінійного інтегрального рівняння фазової проблеми через поліноми скінчених степенів розроблена і обгрунтована методика дослідження галуження цих розв'язків. Розглядаються галуження як в межах поліномів одного степеня, так і зі зміною степеня полінома. Методика детально аналізується на конкретному прикладі.

O. O. Bulatsyk, N. N. Voitovich. Modified phase problem with nonsymetrical data. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-2002), Proc. of VIIth Int. Seminar/Workshop, Lviv-Tbilisi, 2002, p. 137-141.

Abstract. The so-called modyfied phase problem is associated, in particular, with the linear antenna synthesis by the given amplitude radiation pattern. Using the recent explicit solutions of the problem, the case of nonsymmetrical given function is analysed. Numerical results are compared with those for the symmetrical case.

О. О. Булацик, М. М. Войтович. Аналітичні розв'язки одного класу нелінійних інтегральних рівнянь, пов'язаних з модифікованою фазовою проблемою. Відбір і обробка інформації, вип. 19 (95), 2003, 33-40.

Анотація. Розглянуто клас нелінійних інтегральних рівнянь, пов'язаних з модифікованою фазовою проблемою. Доведено ряд теорем, які узагальнюють результати, отримані для задач з опрераторами неперервного та дискретного перетворень Фурє. Розглянуто окремі часткові випадки. Наведено числові результати.

I. V. Tupychak, N. N. Voitovich. Real vanishing solutions to nonlinear equation related to modified phase problem. . Proc. of XIth Intern. Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory. Tbilisi, Georgia, Lviv-Tbilisi, 2006, p. 169-172. .

Abstract. A nonlinear integral equation arising in the so-called phase problem is considered when the given function is modulus of a vanishing function the real vanishing solutions to this equation are investigated. Solutions having one or two vanishing points are found numerically and the results are analyzed for two concrete examples.

M. Voitovich, O. Bulatsyk, Yu. Topolyuk. Аналітико-числові розв"язки задачі з вільною фазою із компактним оператором. Тези II Міжн. наук. конф. "Сучасні проблеми механіки та математики ". Львів, 2008, т. 3, с. 14-16.

Анотація. Розв"язки нелінійного інтегральеого рівняння, пов"язаного з модифікованою фазовою проблемою, подані через комплексні поліноми скінчених степенів. Задача зведена до скінченої системи, що складається із одного трансцендентного та скінченого числа трасцендентних рівнянь відносно допоміжної дійсної додатної функції та скінченого числа комплексних коренів полінома.

10. M. I. Andriychuk, O. O. Bulatsyk, N. N. Voitovich. Application of modified Newton method to nonlinear integral equation of circular antenna synthesis problem. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-2008) . Lviv-Tbilisi, 2008, p. 134-137.

Abstract. An equation arisen in the synthesis problem of antenna systems according to the prescribed amplitude radiation pattern is investigated. The proposed modification of the Newton method allows finding the branched solutions depending on the value of characteristic physical parameter. The algorithm is described and numerical results are presented.

O. O. Bulatsyk, Y.P. Topolyuk, N. N. Voitovich. Generalized nonlinear integral equation of Hammerstein type. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-2009) . Lviv, 2009, p. 181-185.

Abstract.A nonlinear integral equation generalizing that arisen in the antenna synthesis problems is investigated. The semi-analytical solutions are found. Their parameters are determined from an equation system consisting of a linearized integral equation and finite-dimensional system of transcendental ones. Branching of solutions is investigated. A particular case related to Fourier transform is numerically analyzed.

M. I. Andriychuk,N. N. Voitovich. New solutions of nonlinear integral equation arising in phase optimization problems. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-2009) . Lviv, 2009, p. 186-189.

Abstract. A nonlinear integral equation system arising in the phase optimization problems for antennas and transmitting lines is investigated with the object to the number and types of its solutions. The modified Newton method in combination with the simple iteration one is used for determination of solutions having various amplitude and phase characteristics. New types of solutions are found and numerically analyzed.

Abstract. Анонсується нова монографія, підготовлена до друку у видавництві WILEY-VCH Verlag (Німеччина). РОзлядаються різнооманітні задачі, в яких модулі та аргументи комплексних функцій фігурують незалежно у опримізаційних критеріях. Задачі зводяться до нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна. Виявлено і проаналізовано клас таких рівнянь, які мають аналітичні розв&quo;язки. Розроблено числові методи розвязування таких рівнянь, і застосовано їх до низки конкретних задач. РОзглядаються також нестандартні обернені задачі теорії дифракції, зокрема, задачі мінімізації зворотного розсіювання.

O. O. Bulatsyk, Yu. P. Topolyuk, N. N. Voitovich. Finite-parametric solutions of a class of Hammerstein nonlinear integral equations related to phase problem. Journ. of Numer. and Appl. Math. 2010, vol.100 (1), p. 10–28.

Abstract.The paper considers a class of nonlinear integral equation of the Hammerstein type involving the argument of unknown complex function in the nonlinear factor of the integrand. The solutions to such equations are described by a limite numbers of complex parameters being the inverse zeros of polynomials of appropriate degrees. The parameters are determined from a system of equations containing one integral equation and a limited number of transcendental ones. Existence of equivalent groups of solutions is established. The necessary condition for the branching points is obtained, and the systems of equations for their calculation are given. Numerical results for a particular examle are presented.

O. O. Bulatsyk, I. V. Tupychak, N. N. Voitovich. Application of argument principle for determination of number of solutions to nonlinear integral equations relatede to problems with free phase. Proc. of XIIIth International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory. Tbilisi, Georgia. Lviv-Tbilisi, 2010, p. 187-191.

Abstract. A nonlinear integral equation of Hammerstein type arising in the so-called modified phase problem is considered. The complex vanishing solutions to this equation are investigated. Solutions of the equation are represented by means of polynomials of finite degree. Consistency of previously defined system of transcendental equations for parameters of the polynomials is proved. Numerical results are analyzed for concrete examples.